Τετάρτη, 23 Νοεμβρίου 2016

Ο ρόλος της φάσης στην πρόσθεση σημάτων

Όταν αναφερόμαστε στη φάση ενός ηχητικού σήματος το τοποθετούμε στο χρόνο σε σύγκριση πάντα με κάποιο άλλο σήμα ή με την αρχική κατάσταση ενός σημείου της κυματομορφής του ιδίου με κάποιο άλλο σημείο. Για να προσδιορίσουμε αυτή τη διαφορά φάσης μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε είτε το χρόνο για να υποδείξουμε τη  διαφορά, είτε τη γωνιακή διαφορά φάσης. Γνωρίζουμε, πως η κίνηση για παράδειγμα, ενός ημιτονοϊδούς κύματος είναι κυκλική κίνηση στο χρόνο και η γωνία τοποθέτησης στο χρόνο υπολογίζεται σε μοίρες με βάσει τριγωνομετρικά μοντέλα. 
Στο παρακάτω βίντεο βλέπουμε την κίνηση που περιγράψαμε στον κύκλο αλλά και στο χρόνο από δύο διαφορετικές οπτικές γωνίες. Η μία είναι η κυκλική κίνηση και η άλλη είναι στο χρόνο με τη μορφή ημιτονοϊδούς κύματος.




By Lucas VB.
Πηγή: https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=31642523

Για αυτούς που ενδιαφέρονται για τα μαθηματικά πίσω από την κατανόηση της φάσης μπορούν να κοιτάξουν ΕΔΩ ή σε βιβλία μαθηματικών. 


Ας παρατηρήσουμε όμως τι συμβαίνει όταν έχουμε δύο σήματα(Ροζ Θόρυβος) σε φάση μεταξύ τους αλλά και σε διαφορά φάσης.
Καταρχήν να δούμε τι συμβαίνει όταν δύο σήματα αθροιστούν σε ελεγχόμενο πεδίο, για την ώρα. Η παρακάτω εικόνα δείχνει άθροισμα +6db σε όλο το συχνοτικό φάσμα των δύο σημάτων το οποίο είναι και το ιδανικό σενάριο στη διαμόρφωση ηχητικών συστημάτων στο ακουστικό πεδίο.



Στη συνέχεια εάν προσθέσουμε 1ms καθυστέρηση σε ένα από τα δύο σήματα θα δούμε πως ενώ συχνοτικά δεν φαίνεται να αλλάζει κάτι, υπάρχει αλλαγή στη φάση του σήματος. Παρατηρούμε 180 μοίρες αλλαγή φάσης στα 500hz, στα 1500Hz, στα 2500Hz κλπ.


Τώρα, εάν συνδυάσουμε το σήμα χωρίς καθυστέρηση με το σήμα που έχει 1ms καθυστέρηση βλέπουμε πως εκτός από την αλλαγή στη φάση έχουμε και συχνοτική αλλαγή με πολλαπλές συχνοτικές διακυμάνσεις στο μεγαλύτερο μέρος του συχνοτικού φάσματος. Αυτό το φαινόμενο το ονομάζουμε φίλτρο χτένας ή στα αγγλικά Comb Filtering


Ας δούμε και τα τρία σήματα σε ένα γράφημα για να μπορέσουμε να κατανοήσουμε τι γίνεται πίο καθαρά και με ακρίβεια. 


Παρατηρούμε ότι η φάση του σήματος με το μπλέ χρώμα που προκύπτει από την αλληλεπίδραση των δύο άλλων σημάτων έχει άθροισμα 6db στις περιοχές όπου υπάρχει ταίριασμα των δύο φάσεων και συχνοτική ακύρωση στα σημεία όπου τα δύο σήματα έχουν 180° διαφορά στη φάση τους
Στα 500hz υπάρχει διαφορά φάσης 180 μοιρών μεταξύ του πράσινου και του κόκκινου σήματος και για αυτό βλέπουμε συχνοτική ακύρωση ενώ στο 1Khz η φάση του πράσινου και του κόκκινου σήματος τέμνονται(μηδέν μοίρες διαφορά) και για αυτό έχουμε +6db άθροισμα. 
Γιατί όμως δημιουργούνται ακυρώσεις και αθροίσεις σε αυτές τις συχνότητες και όχι αλλού όταν το ένα από τα δύο σήματα έχει delay 1ms; Γνωρίζουμε πως ένα 1ms είναι ο χρόνος που χρειάζεται η συχνότητα των 1000Hz να κάνει ένα πλήρη κύκλο ή μία πλήρη περιστροφή που ισούται με 360 μοίρες ή ως κοινώς γνωστό η περίοδος των 1000Hz είναι 1ms. Επίσης γνωρίζουμε πως τα 500Hz έχουν περίοδο 2ms. Συνεπώς το 1ms είναι ακριβώς o μισός κύκλος της περιόδου των 500Hz . Άρα εφόσον και τα δύο σήματα περιέχουν όλες τις συχνότητες αλλά με 1ms διαφορά αυτές που θα επηρεαστούν στον συνδυασμό με ακύρωση είναι αυτές που η περιοδός τους βρίσκεται στο F=1/2Τ(500Hz), F=3/2Τ(1500Hz), F=5/2Τ(2500Hz) κλπ. και αυτές που θα έχουν άθροισμα είναι οι F=Τ(1000Hz), F=2Τ(2000Hz), (3000Hz) κλπ
Παρατηρώντας ένα γράφημα όπως το παραπάνω ξέρουμε πως η περίοδος της συχνότητας που βρίσκεται η πρώτη ακύρωση ισούται με το διπλάσιο της χρονικής διαφοράς μεταξύ των συνδυαζόμενων σημάτων. Δηλαδή, γνωρίζοντας πως η περίοδος των 500hz είναι 2ms μπορούμε να υπολογίσουμε την χρονική διαφορά μεταξύ τους(1ms) που είναι και η περίοδος της κεντρικής συχνότητας του δεύτερου αθροίσματος, το 1Khz.



Βλέπουμε πως η πρώτη ακύρωση έχει μήκος ίσο με μία οκτάβα όπως και το μήκος του δευτερου αθροίσματος. Στη συνέχεια παρατηρώντας την παραπάνω εικόνα μπορούμε να κατασκεβάσουμε των παρακάτω πίνακα με τους συσχετισμούς ακυρώσεων και αθροίσεων. 



Τι γίνεται όμως σε πραγματικές συνθήκες; Στο παρακάτω βίντεο θα προσπαθήσω να δείξω τι γίνεται όταν συνδυαστούν δύο ηχητικές πηγές που βρίσκονται σε απόσταση 0.5ms περίπου ή αλλιώς 17cm το ένα από το άλλο.  
Εκ του αποτελέσματος φαίνεται πως οι κανόνες που διέπουν τον συνδυασμό ηχητικών κυμάτων/πηγών είναι ακριβώς οι ίδιοι όπως και στο πιο πάνω παράδειγμα. Οι μόνοι παράγοντες που μπορούν να επηρεάσουν το αποτέλεσμα είναι ο αέρας, η θερμοκρασία και οι ανακλάσεις του χώρου στον οποίο γίνονται οι μετρήσεις. Για να μπορέσει να γίνει πιο κατανοητό το παράδειγμα η τοποθέτηση του μικροφώνου έχει γίνει κοντά στα ηχεία ώστε να είναι ξεκάθαρη η εικόνα των δύο συνδυαζόμενων ηχητικών πηγών. 
Για να παρακολουθήσετε το βίντεο πατήστε στον παρακάτω σύνδεσμο.